Question

将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形钢片裁出一块矩形钢片，如图有两种裁法：使矩形一边在扇形的一条半径OA上，或者让矩形一边与弦AB平行，试问哪种裁法能使截得的矩形钢片面积最大？并求出这个最大值．

Answer

见解析

【解析】试题分析：对甲种裁法分析设 ，则矩形的一边为，一边为，则得出面积，利用正弦函数取最值的方法求出最大面积；对乙种裁法分析设利用三角函数表示出长和，进而表示出面积，利用余弦函数取最大值的方法求出最大面积，比较看哪个面积大即可.

试题解析：如图甲，要使矩形面积最大，则O为其一顶点且另一顶点M在弧AB上，设∠MOA＝θ，则矩形PMNO的面积S1＝20·sinθ·20cosθ＝200sin2θ，

当θ＝45°时，S1有最大值，为200cm2；

如图乙，设∠MOA＝θ，在△OMQ中，由正弦定理得QM＝.

由图形的对称性知，∠AOB的平分线OC为其对称轴，于是MN＝2OM·sin（60°－θ），

∴矩形PQMN的面积S2＝QM·MN＝

2sinθsin（60°－θ）＝ [cos(2θ－600)－cos60°]．

当θ＝30°时，S2有最大值为cm2，又∵＞200;

故用第二种方法可截得的矩形钢片面积最大，最大面积为cm2．