Question

等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF互相垂直．

(1)求证：AF⊥平面CBF；

(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；

(3)求三棱锥C－BEF的体积．

Answer

(1)见解析；(2)．

【解析】试题分析：（1）要证线与面垂直，需先证明直线垂直于平面内的两条相交直线，因为矩形所在的平面和平面互相垂直，所以垂直于平面，从而垂直于，依题意，垂直于，从而命题得证；（2）取的中点为，由三角形中位线定理，平行且等于的一半，而也是如此，从而平行且等于，四边形为平行四边形，所以平行于，由线面平行的判定定理即可得证平行于平面；（3）先计算底面三角形的面积，在等腰梯形中，可得此三角形的高为，底为1，再计算三棱锥的高，即为，最后由三棱锥体积计算公式计算即可.

试题解析：(1) ∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF，

∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB．

又∵AF⊥BF，BF∩BC＝B，BF，BC平面CBF．

∴AF⊥平面CBF．

(2) 设DF的中点为N，则MN∥CD，MN＝CD，

AO∥CD，AO＝CD，则MN∥AO，MN＝AO，

∴四边形MNAO是平行四边形，∴OM∥AN．

又AN平面DAF，OM平面DAF，∴OM∥平面DAF．

(3) 过点E作EH⊥AB于H，则∠EBH＝60°，

所以EH＝，EF＝AB－2HB＝1，故S△BEF＝×1×＝，VC－BEF＝×S△BEF×BC＝．