Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，，S_n＝n²a_n－n(n－1)，n＝1，2，…

(1)证明：数列{S_n}是等差数列，并求S_n；

(2)设，求证 ：b₁＋b₂＋…＋b_n＜1．

Answer

(1)． (2) 见解析．

【解析】试题分析：(1)在已知递推式式中，利用，化简可得，故而可证得结论；(2)利用裂项相消法求其前项和即可.

试题解析：(1)由Sn＝n2an－n(n－1)知，

当n≥2时Sn＝n2(Sn－Sn－1)－n(n－1)，

即(n2－1)Sn－n2Sn－1＝n(n－1)，∴Sn－Sn－1＝1，对n≥2成立．

又S1＝1，∴{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．

Sn＝1＋(n－1)·1 ，∴Sn＝．

(2)bn＝＝＝－．

∴b1＋b2＋……＋bn＝1－＋－＋…－＝1－＜1．

点睛：本题主要考查了等差数列的证明，这一恒等式的应用，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.