Question

已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，记数列的前项和为，求证： .

Answer

（1）.（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得 的值，从而可得，进而可得结果；（2）由（1）知 ，裂项相消法求和，放缩法即可证明.

试题解析：（1），

故的最小值为.

又，所以，即.

所以当时， ；

当时， 也适合上式，

所以数列的通项公式为.

（2）证明：由（1）知 ，

所以 ，

所以.

【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②

；③；

④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.