Question

已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

Answer

B

【解析】

如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接，易求得 ，则 .在中，由勾股定理， ，解得 ，由 ，知 ，所以 ，当过点 的截距与 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径 ，此时截面圆的面积为 ；当过点 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为 ，故选B.

【方法点睛】本题主要考查正三棱锥的性质及空间想象能力、圆的性质、勾股定理的应用.属于难题. 化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解,在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识，例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注.