Question

已知函数．

（1）当，求的单调递增区间；

（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．

Answer

（1）单调递增区间是；（2）的取值范围是.

【解析】试题分析：

(1)对函数进行求导，利用导函数的正负决定原函数的单调性即可；

(2)将单调性的问题转化为恒成立的问题，构造新函数，结合新函数的单调性讨论其最值，结合恒成立的条件，使得 即可.

试题解析：

（1）根据条件，又，则解得，

所以的单调递增区间是；

（2）由于函数在区间上单调递减，所以在上恒成立，

即在上恒成立，则（），其中，

，则在上单减，在上单增，

，经检验， 的取值范围是．

点睛：

利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数a，把所求问题转化为求函数的最大值问题．

若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．