Question

如图，三棱柱的底面是边长是2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是， 是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）设与相交于点，则由三角形中位线性质得.再根据线面平行判定定理得平面.（2）线面角找垂直，即先寻找平面的垂线：作，由面面垂直平面平面性质定理得平面，即，再由线面垂直判定定理得平面，因此就是直线与平面所成的角.最后根据直角三角形求出，即得直线与平面所成的角的正弦值为.

试题解析：【解析】

（1）设与相交于点，连接，则为中点

∵为中点，∴.

又∵平面， 平面

∴平面.

（2）作， 为垂足.

∵，平面平面，平面平面

∴平面

∵平面，∴

∵，∴平面，连接，

∵，∴平面，连接，

则就是直线与平面所成的角.

∵， ，∴在中，

∴，

∴

∴直线与平面所成的角的正弦值为.