Question

已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．

Answer

（1）．（2）

【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用参数之间的关系等知识建立方程组求解；(II)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求.

试题解析：

（Ⅰ）由题意可得

解得，.故椭圆的方程为...........（5分）

（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，.

，，由得.

所以，因为.

所以中点.因此直线方程为.

由解得，.

因此四边形为矩形，所以，即.

所以.所以.

解得，故直线的方程为...........（14分）

考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识与直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念,求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助题设中的矩形满足的条件建立方程,求得,从而使得问题获解.