Question

选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于， 两点.

（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；

（2）动点在圆上（不与， 重合），试求的面积的最大值.

Answer

（1） ；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间的转化关系，可得圆的直角坐标方程，将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义可求得弦的长；（2）写出圆的参数方程，利用点到直线的距离公式，可得，可求出的最大值，即求得的面积的最大值．

试题分析：（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆 ，并整理得，解得， .所以直线被圆截得的弦长为.

（2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），

可设曲线上的动点，则点到直线的距离 ，当时， 取最大值，且的最大值为.

所以，即的面积的最大值为.