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已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,若函数的导函数的图象与轴交于,...

已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,若函数的导函数的图象与轴交于 两点,其横坐标分别为 ,线段的中点的横坐标为,且 恰为函数的零点,求证: .

 

(1)当时, 在内单调递增;当时, 在内单调递减,在, 内单调递增;(2)见解析. 【解析】试题分析:(1)对函数求导后,利用导数与函数单调性的关系,对进行讨论可得函数单调性;(2)由函数的导函数可知, 又是的零点,代入相减化简得,对求导, .令,求得函数.不等式得证. 试题解析:(1)由于的定义域为,则.对于方程,其判别式.当,即时, 恒成立,故在内单调递增.当,即,方程恰有两个不相等是实,令,得或,此时单调递增;令,得,此时单调递减. 综上所述,当时, 在内单调递增;当时, 在内单调递减,在, 内单调递增. (2)由(1)知, ,所以的两根, 即为方程的两根.因为,所以, , .又因为, 为的零点, 所以, ,两式相减得,得.而,所以 . 令,由得,因为,两边同时除以,得,因为,故,解得或,所以.设,所以,则在上是减函数,所以, 即的最小值为. 所以.  
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