Question

已知椭圆： 的长轴长为6，且椭圆与圆： 的公共弦长为.

（1）求椭圆的方程.

（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点， ，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设， 的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．

试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆： 的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.

（2）直线的解析式为，设， 的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以， .因为，所以，即，所以.当时， ，所以；当时， ，所以.

综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.