Question

已知函数.

（1）若是函数的一个极值点， 和1是的两个零点，且，求的值；

（2）若，且是的两个极值点，求证：当时， .

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求导数，代入，1是的零点，所以求出，然后求得在递增，在递减，利用零点存在性确定；（2）令，则，令，利用导数研究单调性，求其最小值．

试题解析：（1）由，得，

因为是函数一个极值点，1是的零点，所以，

即，解得，

于是，

令，由，解得，

则当时， ；当时， ，

于是在递增，在递减，

因为和1是的两个零点，且，所以，

又因为，所以，则．

（2）由，得，

则，

由是的两个极值点，得是方程的两根1和．

不妨令，则，即，

由，得，即，由，解得，此时，

于是当时， ；当时， ；当时， ，

所以在上递减，在递增，在递减．

于是在处取极小值，在处取极大值．

从而，

令，则，

令，则，

令，则，

因为，所以，则递增，所以，

即，所以递增，

于是，即．

点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．