Question

在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知为定直线上一点.

①过点作的垂线交轨迹于点（不在轴上），求证：直线与的斜率之积是定值；

②若点的坐标为，过点作动直线交轨迹于不同两点，线段上的点满足，求证：点恒在一条定直线上.

Answer

（1）（2）①直线与的斜率之积为定值．

②点在定直线上．

【解析】试题分析：（1）设动点坐标，直接利用轨迹方程定义计算即可；（2），

①令，由，得，即，即，又因为点在椭圆上，所以，而的斜率分别为，于是，即直线与的斜率之积为定值； ②令，则，代入椭圆，消元即可证明点在定直线上．

试题解析：（1）设，则，点到直线的距离，

由，得，化简得，

即点在轨迹的方程为；

（2）因为为直线上一点，所以令，

①令，由，得，即，即，

又因为点在椭圆上，所以，

而的斜率分别为，

于是，

即直线与的斜率之积为定值

．

②令，则，

令点，则，

即，即

由①×③，②×④，得，

因为在椭圆上，所以，

⑤×2+⑥×3，得

，即，

所以点在定直线上．

本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．