Question

已知抛物线（），焦点到准线的距离为，过点作直线交抛物线于点(点在第一象限).

(Ⅰ)若点焦点重合，且弦长，求直线的方程；

(Ⅱ)若点关于轴的对称点为，直线交x轴于点，且，求证：点B的坐标是，并求点到直线的距离的取值范围.

Answer

(Ⅰ) 或.(Ⅱ)

【解析】

试题分析：（Ⅰ）确定抛物线的方程，设出直线方程与抛物线方程联立，利用弦长|PQ|=2，即可求直线l的方程；（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量知识，证明B（-，0），确定出，或m的范围，表示出点B到直线l的距离d，即可求得取值范围

试题解析：(Ⅰ)【解析】
由题意可知，，故抛物线方程为，焦点.

设直线l的方程为，，.

由消去x，得.所以△=n2+1＞0，.

因为，点A与焦点F重合，

所以.

所以n2=1，即n=±1.所以直线l的方程为或，

即或.

(Ⅱ)证明：设直线l的方程为(m≠0)，，则

由消去x，得，

因为，所以△=m2+4x0＞0，y1+y2=m，y1y2=-x0.

设B(xB，0)，则.

由题意知，，所以，

即.

显然，所以，即证B(-x0，0).

由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以，即，也即，

所以，所以，

即，所以＞0，即

又因为，所以.，

所以d的取值范围是.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质