Question

如图所示， 为圆的直径，点， 在圆上， ，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且， ， .

（1）求证： 平面；

（2）设的中点为，求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）证明 ，由圆的直径性质推出 ，然后证明平面；（2）根据等级变换求三棱锥的体积，多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和，可求出，进而可得比值.

试题解析：（1）证明： 矩形所在的平面和平面互相垂直，且，

平面，

又平面， .

又为圆的直径，

，

又，

平面.

（2）设的中点为，连接，

则，

又， ，

四边形为平行四边形，

，

又平面，

平面.

显然，四边形为等腰梯形， ，因此为边长是1的正三角形.

三棱锥的体积

多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和，计算得两底间的距离，

.

.

.

.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直、线线垂直及棱锥的体积公式，属于难题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.