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如图所示, 为圆的直径,点, 在圆上, ,矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直,...

如图所示, 为圆的直径,点 在圆上, ,矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直,且 .

(1)求证: 平面

(2)设的中点为,求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值.

 

(1)见解析;(2). 【解析】试题分析:(1)证明 ,由圆的直径性质推出 ,然后证明平面;(2)根据等级变换求三棱锥的体积,多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和,可求出,进而可得比值. 试题解析:(1)证明: 矩形所在的平面和平面互相垂直,且, 平面, 又平面, . 又为圆的直径, , 又, 平面. (2)设的中点为,连接, 则, 又, , 四边形为平行四边形, , 又平面, 平面. 显然,四边形为等腰梯形, ,因此为边长是1的正三角形. 三棱锥的体积 多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和,计算得两底间的距离, . . . . 【方法点晴】本题主要考查线面垂直、线线垂直及棱锥的体积公式,属于难题.证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论;(3)利用面面平行的性质;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.  
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考点分析:
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