Question

已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设轨迹上一动点满足： ，其中是轨迹上的点，且直线与的斜率之积为，若为一动点， ， 为两定点，求的值.

Answer

(I) ; (II)

【解析】试题分析：（1）根据所给条件列出关于点坐标的等式，对等式化简可得的轨迹方程为椭圆；（2）设， ， ，利用所给向量间的关系可用两点的坐标表示点坐标．再由三点在椭圆上，可得，由斜率乘积为，可得，进一步得为椭圆上点， 为焦点，由椭圆定义可得结果．

试题解析：(I)点到直线的距离是到点的距离的倍，

则 ， 化简得

(II)设， ， ，则由，

得，

∵点T、P、Q在椭圆上，

∴所以， ，

故

设分别为直线OP、OQ的斜率，由题意知，

，因此，

∴.

所以N点是椭圆上的点，

而恰为该椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义，

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定议程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.