Question

（本小题满分12分）

如图， 在四面体ABOC中, , 且.

（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

Answer

解法一：

（Ⅰ）在平面内作交于，连接。

又，

，。

取为的中点，则。

在等腰 中，，

在中， ，

在中， ， .

（Ⅱ）连接 ，由，知：.

又，

又由，.

是在平面内的射影.

在等腰中，为的中点，

根据三垂线定理，知： ,

为二面角的平面角.

在等腰中，，

在中， ，中，.

解法二：（Ⅰ） 取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图）,则 , 为中点，

.

设 .

即，。

所以存在点 使得 且.

（Ⅱ）记平面的法向量为,则由，，

且，得， 故可取

又平面的法向量为 ..

二面角的平面角是锐角，记为，则.

【解析】略