Question

已知函数（），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，当时， 的最大值为1．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f（x）=sin（2x﹣）﹣；（Ⅱ）m∈[﹣2，1].

【解析】试题分析：（I）由题意可求T=π，利用周期公式可求ω的值，可得解析式f（x）=sin（ωx﹣）+b，结合范围2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的有界性解得b的值，从而可求函数f（x）的解析式．

（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，结合已知可求m的取值范围．

试题解析：

（I）∵函数f（x）=sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，

∴=，可得：T=π，由=π，可得：ω=2，

∴f（x）=sin（2x﹣）+b，

∵当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，

∴由于y=sinx在[﹣，]上单调递增，可得当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取得最大值f（）=sin+b，

∴sin+b=1，解得b=﹣，

∴f（x）=sin（2x﹣）﹣

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为：g（x）=sin[2（x﹣）﹣]﹣=sin（2x﹣）﹣，

∵当x∈[0，]时，可得：2x﹣∈[﹣，]，g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，

∴g（x）﹣3∈[﹣5，﹣2]，g（x）+3∈[1，4]，

∵g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，

∴m∈[﹣2，1]．

点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.

首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；

其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.