Question

已知圆过两点， ，且圆心在直线上．

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）直线过点且与圆有两个不同的交点， ，若直线的斜率大于0，求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（x﹣1）2+y2=25；（Ⅱ） ；（Ⅲ）x+2y﹣1=0.

【解析】试题分析：（Ⅰ）圆心C是MN的垂直平分线与直线2x-y-2=0的交点，CM长为半径，进而可得圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点（-2，5）且与圆C有两个不同的交点，则C到l的距离小于半径，进而得到k的取值范围；
（Ⅲ）求出AB的垂直平分线方程，将圆心坐标代入求出斜率，进而可得答案．

试题解析：

（I）MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）

R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25

∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=25

（II）设直线的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，

则d=

由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0

∴k＜0或k＞

又因为k＞0

∴k的取值范围是（，+∞）

（III）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0

∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2

∵k=2＞

故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0.