Question

设函数，其中为自然对数的底数，其图象与轴交于， 两点，且．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）证明： （为函数的导函数）．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1） 当时， 为上的单调函数与轴交点只有一个或零个，不满足题意；当时，讨论的单调性， 有极小值点，只要保证的极小值小于零，则会满足题意.（2）注意到为单调增函数，若能证明 且 必有

试题解析：（Ⅰ） ．

若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．所以，令，则．

当时， ， 是单调减函数； 时， ， 是单调增函数；

于是当时， 取得极小值．

因为函数的图象与轴交于两点， (x1＜x2)，

所以，即．

此时，存在；（或寻找f（0））

存在，

又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围．

（Ⅱ）因为 两式相减得．

记，则，

设，则，所以是单调减函数，

则有，而，所以．

又是单调增函数，且，

所以．

点睛：证明 的过程中，要研究导函数的单调性及特殊值点

的导函数值，从而应用函数的单调性比较出函数值的大小关系解决问题.