Question

在如图所示的多面体中， 为直角梯形， ， ，四边形为等腰梯形， ，已知， ， ．　

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析:(1)连接在等腰梯形中可证得从而且再证面， 面，所以平面平面．(2)先建立空间直角坐标系求出面的法向量，直线与面所成角的正弦值即为向量与面法向量夹角的余弦值的绝对值.

（Ⅰ）证明：取中点，连接， ， ，可知，

∴，

又， ∴平面，

∴， 又，

，∴平面， 平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）如图，作，则平面，过 作交于点，

故以为原点，分别以 的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得 ， ， ， ，所以 ， ， ．

设 为平面EAC的法向量，则

即 不妨设，

可得，

所以 ，

直线CF与平面EAC所成角的正弦值为．