Question

已知数列， 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.

（1）设数列、分别为等差、等比数列，若， ， ，求；

（2）设的首项为1，各项为正整数， ，若新数列是等差数列，求数列 的前项和；

（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）49；（2）或；（3）首项，公差的等差数列符合题意.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得 ；

(2)由题意可得等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 数列的前项和或.

(3) 存在等差数列，只需首项，公差.利用题中的结论可证得此命题成立.

试题解析：

【解析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由题意得， ，解得或，因数列单调递增，

所以，所以， ，所以， . 因为， ， ， ，

所以.

（2）设等差数列的公差为，又，且，

所以，所以. 因为是中的项，所以设，即.

当时，解得，不满足各项为正整数；

当时， ，此时，只需取，而等比数列的项都是等差数列中的项，所以；

当时， ，此时，只需取，

由，得， 是奇数， 是正偶数， 有正整数解，

所以等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 综上所述，数列的前项和或.

（3）存在等差数列，只需首项，公差.

下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数，都有，

即成立.

由，

.

所以首项，公差的等差数列符合题意.

点睛：学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题.