Question

如图，三棱柱-的底面是边长为2的等边三角形，底面，点分别是棱，上的点，且

（Ⅰ）证明：平面平面；

（II）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（1）取中点，连接，则，进而证的平面，在取的中点，连接，则，从而证得平面，进而证的结论；

（2）以为原点，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，即可利用向量的运算得到直线与平面所成角的正弦值。

试题解析：

（Ⅰ）证明：取中点，连接，则，

因为底面，所以侧面底面，

所以平面．

取中点，连接，则，且，

又因为，，所以且，

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以，所以平面．又平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）以为原点，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，依题意得，，，，所以，，

设平面的一个法向量为，

由得 令，得，

设直线与平面所成的角为，则，

故直线与平面所成角的正弦值为．