Question

已知点为圆， ， 是圆上的动点，线段的垂直平分线交于点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设， ，过点的直线与曲线交于点（异于点），过点的直线与曲线交于点，直线与倾斜角互补.

①直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；

②设与的面积之和为，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）本问考查曲线轨迹方程的求法，画出图形分析可有， ，于是点的轨迹是以点为焦点，焦距为，长轴为的椭圆，可求出方程；（2）①本问考查直线与椭圆的位置关系，由于直线与倾斜角互补，所以斜率互为相反数，设的方程为，与椭圆方程联立，消元，得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可以求出点M的坐标，设的方程为，同理可以求出点N的坐标，于是可以求出直线MN的斜率，并判断是否为定值；②由于直线MN的斜率为定值，所以设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出弦长，再分别求点A，B到直线MN的距离，于是可以得到与的面积之和为，再讨论求出取值范围.

试题解析：（1）由题意.

∴点的轨迹是以点为焦点，焦距为，长轴为的椭圆，

所以，

所以点的轨迹方程是

（2）①设的方程为， 联立方程，得

，

设与椭圆除外的另一个交点，则， ，

代入的方程得，所以，

因为倾斜角互补，所以的方程为，

联立方程组，得，

设与椭圆除外的另一个交点，则， ，

代入的方程得，所以，

∴直线的斜率为.

②设直线的方程为,联立方程，得,

由得，设，则，

∴.

设分别为点到直线的距离, 则

，

当时， ,

当时， ,

当时， ，

∴的取值范围为.

方法点睛：定义法求轨迹方程时，应将题中条件构造出符合某种曲线定义的形式，本题满足到两定点距离和等于定长（且大于两定点间距离），符合椭圆定义，因此可以求出标准方程.另外本题中直线与倾斜角互补，需要转化为两直线斜率互为相反数，这是解题的关键所在.