Question

如图和均为等腰直角三角形， ， ，平面平面， 平面， ，

（1）证明： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）本问证明，可以通过线面垂直证明线线垂直，根据题意，取AB中点F，连接DF，CF，然后证明AB平面DFCE，易证明ABCF，ABDF，于是问题得证明；（2）根据第（1）问，以F为原点，FB，FC，FD所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，

， ，再求平面的法向量，再求平面的法向量，求两个法向量的夹角余弦值，在由图形观察确定二面角与法向量夹角余弦之间的关系.

试题解析：（1）证明：设的中点为，连结，

因为为等腰直角三角形， ，

所以，

又 ，

所以平面，

因为平面⊥平面，平面平面，

平面，

所以 ⊥平面

又平面，所以.

所以可确定唯一确定的平面.

又平面, .

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 ， ， ， ， ，

， .

设平面的法向量，

则，即，令，得，

设平面的法向量，

则，即，令，得，

设二面角平面角为，则，

所以二面角的余弦值为．