Question

设函数是定义在 上的偶函数，当时， ）.

（1）当时，求的解析式；

（2）若，试判断的上单调性，并证明你的结论；

（3）是否存在，使得当时， 有最大值.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】试题分析：(1)根据分段函数的奇偶性可得当时，求的解析式；（2）由于可得恒成立，得在上为增函数，根据对称性得在上为减函数；（3）讨论时，当时两种情况，研究单调性并求最值，舍去不合题意的情况，即可得结论.

试题解析： (1)设，则，又是偶函数， .

（2）,又，即在上为增函数.

（3）当时， 在上是增函数， ，（不合题意，舍去）.

当时， ，令，如下表：

↗

最大值

↘

在处取得最大值，满足条件，当时，

在上单调递减， 在无最大值，所以存在，使在上有最大值.