Question

已知为实数，且函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在上的最大值、最小值.

Answer

（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）最大值为，最小值为.

【解析】试题分析：(1)先求出，由求出 的值，再由得增区间， 得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果.

试题解析：(1) 函数 ),.,解得.则 . ,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）当时，函数与的变化如下表：

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

由表格可知：当时，函数取得极大值， ，当时，函数取得极小值， ，又，可知函数的最大值为，最小值为.

【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值及闭区间上的最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小