Question

设函数（为自然对数的底数），， .

（1）若是的极值点，且直线分别与函数和的图象交于，求两点间的最短距离；                

（2）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围.

Answer

（1）1（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意讨论的性质可得求两点间的最短距离为1

(2) 构造函数，求解导函数后分类讨论：

故时恒成立.当时，不符合题意，

故符合条件的的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）因为，所以，因为是的极值点，所以， .

又当时，若， ，所以在上为增函数，所以，所以是的极小值点，所以符合题意，所以.令，即，因为，当时， ， ，所以，所以在上递增，所以，∴时， 的最小值为，所以.

（Ⅱ）令，

则， ，因为当时恒成立，所以函数在上单调递增，∴当时恒成立；

故函数在上单调递增，所以在时恒成立.

当时， ， 在单调递增，即.

故时恒成立.

当时，因为在单调递增，所以总存在，使在区间上，导致在区间上单调递减，而，所以当时， ，这与对恒成立矛盾，所以不符合题意，故符合条件的的取值范围是.