Question

如图，平面平面，四边形是菱形， .

（1）求证： ；

（2）若，且直线与平面所成角为，求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得平面，结合线面平行的性质和题意有.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量可求得二面角的平面角的余弦值为.

试题解析：

【解析】
(1)连接，设，因为平面平面，且交线为，

因为，所以平面， 平面，所以平面平面，四边形是菱形，所以，所以平面，所以，又，所以.

(2)解法一：过点作于点，连接，因为平面平面，即直线与平面所成角为，不妨设，则，过点在内作的平行线，则平面，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，则，

所以，

设平面的法向量为，则，所以，取，

同理可得平面的法向量为，

所以，因为二面角是锐角，所以其余弦值为.

解法二：过点作于点，连接，因为平面平面，又，所以平面，所以，即平面，所以，即是二面角的平面角，过点作于点，连接，所以平面，即直线与平面所成角为，不妨设，则，因为∽，所以，又，所以，所以，所以二面角的余弦值为.

点睛：求解二面角与法向量的夹角，利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.