Question

已知函数， ，其中， 为常数．

（1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有2个零点， 有6个零点，求的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：结合极值点导数为零及导数的几何意义求出切线方程；函数零点问题是导数的一个应用方面 ，首先搞清函数 零点个数的三种判断方法，其一： 的图象与 轴交点的横坐标 ；其二：方程 的根；其三：函数 与 的图象的交点的横坐标 ；本题根据函数存在2个零点，转化为方程有2个不同的实根，解出，再根据有6个零点，求出范围.

试题解析：（1）∵，∴，∴，即．

又，∴，∵，

∴所求切线方程为，即．

（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，

设，则，令，得；

令，得， ，∴的极小值为．

∵，∴由的图象可知．

∵，∴令，得或，即或，

而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，

∴且，∴，∴．

【点睛】函数 零点个数的三种判断方法，其一： 的图象与 轴交点的横坐标 ；其二：方程 的根；其三：函数 与 的图象的交点的横坐标 ；涉及 零点问题，一般设 ，则 ，先考虑的零点，找出对应的 值（或范围），再根据 找出对应的 值（或个数），需要借助函数图象数形结合去完成.