Question

如图， ， 为椭圆： 的左、右焦点， ， 是椭圆的两个顶点， ， ，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．直线与椭圆交于， 两点， ， 两点的“椭点”分别为， ，已知以为直径的圆经过坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer

（1）（2）的面积为定值1．

【解析】试题分析：求圆锥曲线的标准方程，常用待定系数法，列出关于的关系后解联立方程组，求出的值，定点、定值问题是解析几何常见的常规题型之一，是高考高频考点，针对本题务必对直线的斜率进行讨论，否则会失分.研究三角形的面为定制问题，首先把面积表示出来 ，这就需要联立方程组，求弦长和高，最终说明面积为定值.

试题解析：（1）由题可知解得故椭圆的标准方程为．

（2）设， ，则， ．

由，即．（*）

①当直线的斜率不存在时， ；

②当直线的斜率存在时，设其直线为（），

联立得，

则， ，

同理，代入（*），整理得．

此时， ， ，∴．

综上， 的面积为定值1．

【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.