Question

已知函数.

（Ⅰ）若函数有零点, 求实数的取值范围；

（Ⅱ）证明：当时, .

Answer

（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（I）求导，利用导数的符号变换研究函数的单调性和极值，再通过极值的符号进行求解；（II）将不等式恒成立问题转化为分别求两端函数的最值问题，再利用导数进行求解.

试题解析： (Ⅰ)函数的定义域为.

由, 得.

因为,则时, ; 时, .

所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 当时, . 当, 即 时, 又, 则函数有零点.

所以实数的取值范围为.

(Ⅱ) 要证明当时, ,

即证明当时, , 即

令, 则.

当时, ;当时, .

所以函数在上单调递减, 在上单调递增.

当时, . 于是,当时, ①

令, 则.

当时, ;当时, .

所以函数在上单调递增, 在上单调递减.

当时, . 于是, 当时, ②

显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.

故当时, .