Question

已知椭圆的离心率为, 且过点.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 若是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴, 试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.

Answer

（I）；（II）直线的斜率为定值，该值为.

【解析】试题分析：（I）由离心率可得关系，再将点坐标代入，可得间关系，又，解方程可得的值；（II）由的角平分线总垂直于轴，可判断直线的斜率互为相反数，由两直线都过点，由点斜式可写出直线方程．一一与椭圆方程联立，消去的值，可得一元二次方程，又点满足条件，可求得点的坐标，用表示．再由斜率公式可得直线的斜率为定值．

试题解析：

(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,

所以, .

因为,

解得, ,

所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)法1：因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对

称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为.

所以直线的方程为,直线的方程为.

设点, ,

由消去,得. ①

因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根, 则,

所以.

同理.

所以.

又.

所以直线的斜率为.

所以直线的斜率为定值，该值为.

法2：设点，

则直线的斜率, 直线的斜率.

因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称.

所以, 即, ①

因为点在椭圆上,

所以，②

. ③

由②得, 得, ④

同理由③得, ⑤

由①④⑤得,

化简得, ⑥

由①得, ⑦

⑥⑦得.

②③得,得.

所以直线的斜率为为定值.

法3：设直线的方程为，点，

则,

直线的斜率, 直线的斜率.

因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称.

所以, 即,

化简得.

把代入上式, 并化简得

. (*)

由消去得, (**)

则,

代入(*)得,

整理得,

所以或.

若, 可得方程(**)的一个根为，不合题意.

若时, 合题意.

所以直线的斜率为定值，该值为.