Question

设为非负实数，函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）讨论函数零点的个数，并求出零点.

Answer

（1）的单调递增区间是和，单调递减区间是；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）当时， ，分段求单调区间即可；

（2）讨论和两种情况，其中当时， ，分别求两端的零点个数即可.

试题解析：

（1）当时， ，

①当时， ，

∴在上单调递增；

②当时， ，

∴在上单调递减，在上单调递增；

综上所述， 的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（2）（1）当时， ，函数的零点为；

（2）当时， ，

故当时， ，二次函数对称轴为，

∴在上单调递增， ；

当时， ，二次函数对称轴，

∴在上单调递减，在上单调递增；

∴的极大值为，

当，即时，函数与轴只有唯一交点，即唯一零点，

由解之得，函数的零点为或（舍去）；

当，即时，函数与轴有两个交点，即两个零点，分别为和；

当，即时，函数与轴有三个交点，即有三个零点，

由，解得， ，

∴函数的零点为和，

综上可得，当时，函数的零点为0；

当时，函数有一个零点，且零点为；

当时，有两个零点2和；

当时，函数有三个零点和.