Question

下图为一简单组合体，其底面为正方形， 平面， ，且， 为线段的中点.

（1）证明： ；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（Ⅰ） 证明见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ） 要证线线垂直，一般先证线面垂直，注意到底面，考虑证明与平面平行（或其内一条直线平行），由于是中点，因此取中点（实质上是与的交点），可证是平行四边形，结论得证；（Ⅱ）求三棱锥的体积，采用换底，即，由已知可证就是三棱锥的高，从而易得体积．

试题解析：（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结， ∵为线段的中点，∴且

又且

∴且

∴四边形为平行四边形，

∴, 即．

又∵平面, 面,

∴,

∵, ∴,

（Ⅱ）∵平面， 平面,

∴平面平面

∵，平面平面， 平面，

∴平面.

三棱锥的体积

考点：线面垂直的判定与性质，三棱锥的体积．