选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，曲线
的方程为
，在以原点为极点， 
轴的非负关轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.
（1）将
上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的2倍和
倍后得到曲线
，求曲线
的参数方程；
（2）若
分别为曲线
与直线
的两个动点，求
的最小值以及此时点
的坐标.
已知
，其中
为自然对数的底数.
（Ⅰ）设
（其中
为
的导函数），判断
在
上的单调性；
（Ⅱ）若
无零点，试确定正数
的取值范围.
在平面直角坐标系
中，已知椭圆
： 
的离心率
，且椭圆
上一点
到点
的距离的最大值为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
， 
为抛物线
： 
上一动点，过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
两点，求
面积的最大值.
某厂每日生产一种大型产品
件，每件产品的投入成本为
元. 产品质量为一等品的概率为
；二等品的概率为
. 每件一等品的出厂价为
元，每件二等品的出厂价为
元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产
件产品还会带来
元的损失.
（Ⅰ）求在连续生产的
天中，恰有一天生产的
件产品都为一等品的概率；
（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品
件中有
件为一等品，求另
件也为一等品的概率；
（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润
（元）的分布列和期望.
如图，直角三角形
中， 
， 
， 
， 
为线段
上一点，且
，沿
边上的中线
将
折起到
的位置.
（Ⅰ）求证： 
；
（Ⅱ）当平面
平面
时，求二面角
的余弦值.
在各项均为正数的等比数列
中， 
，且
成等差数列.
（Ⅰ）求等比数列
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
满足
，数列
的前
项和为
，求证： 
.
