Question

已知，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）设（其中为的导函数），判断在上的单调性；

（Ⅱ）若无零点，试确定正数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）单调递增；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

(1) 在定义域内恒正，则在上单调递增.

(2)结合(1)的结论分类讨论：

①当时，不符合题意；

②当时，不符合题意；

③当时， 没有零点.

综上所述，正数的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）因为，则， ，

所以，所以在上单调递增.

（Ⅱ）由知，

由（Ⅰ）知在上单调递增，且，可知当时， ，

则有唯一零点，设此零点为.

易知时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，

故，其中.

令，则，

易知在上恒成立，所以， 在上单调递增，且.

①当时， ，由在上单调递增知，

则，由在上单调递增， ，所以，故在上有零点，不符合题意；

②当时， ，由的单调性知，则，此时有一个零点，不符合题意；

③当时， ，由的单调性知，则，此时没有零点.

综上所述，当无零点时，正数的取值范围是.