Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设， 为抛物线： 上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于两点，求面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

(1)利用题意求解椭圆的基本量可得椭圆的方程是.

(2)由题意可得面积的函数解析式： .

当时，等号成立，经检验此时，满足题意.即面积的最大值为.

试题解析：

（Ⅰ）因为，所以，则椭圆方程为，即.

设，则.

当时， 有最大值为. 解得，则.

所以椭圆的方程是.

（Ⅱ）设曲线： 上的点，因为，

所以直线的方程为，即，代入椭圆方程得

，则有.

设，则， .

所以.

设点到直线的距离为，则. 所以的面积

.

当时，等号成立，经检验此时，满足题意.

综上， 面积的最大值为.

点睛：解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；

(2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．