Question

已知关于的不等式： 的整数解有且仅有一个值为2.

（1）求整数的值；

（2）已知，若，求的最大值；

（3）函数，若不等式的解集为，

且存在实数使 成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得不等式，求得；

(2)利用柯西不等式可得的最大值为，注意等号成立的条件；

(3)由题意列出关于m的不等式组，求解不等式组可得取值范围为.

试题解析：

（1）由，得，

所以不等式的整数解为，所以，

又不等式仅有一个整数解，所以.

（2）显然，

由柯西不等式可知： ，

所以，即，当且仅当取等号，最大值为 .

（3）有（1）知，令，

则，

所以的最小值为4，故实数的取值范围是.

点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．