Question

在极坐标系中，圆的极坐标方程为，若以极点为原点，极轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系

（1）求圆的参数方程；

（2）在直角坐标系中，点是圆上的动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标；

（3）已知为参数），曲线为参数），若版曲线上各点恒坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值.

Answer

（1）为参数）；（2）最大值为时，点的直角坐标为；（3）.

【解析】试题分析：

(1)圆的普通方程为，所以所求圆的参数方程为为参数）.

(2) 设，代入

整理可知则关于的方程必有实数根，

所以，解得，即的最大值为11，

故的最大值为时，点的直角坐标为.

(3)点的坐标是， ，

当时， 取得最小值， .

试题解析：（1）因为，所以，

即为圆的普通方程，

所以所求圆的参数方程为为参数）.

（2）设，得代入

整理得，则关于的方程必有实数根，

所以，化简得，

解得，即的最大值为11，

将代入方程，得，解得，代入得，

故的最大值为时，点的直角坐标为.

（3）的参数方程为为参数），故点的坐标是，

从而点到直线的距离是，

由此当时， 取得最小值，且最小值为.