Question

已知， 分别为椭圆： 的左、右焦点，点在椭圆上.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）设直线的斜率为，直线与椭圆交于， 两点，若点在第一象限，且，求面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）的最小值为; （Ⅱ）12.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设，由向量数量积的坐标运算求得，注意椭圆中有，因此可得最小值；

（Ⅱ）由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长，求出点坐标，再求得到直线的距离即三角形的高，从而得面积由基本不等式可得最大值．

试题解析：

（Ⅰ）有题意可知， ，

则， ，

∴，

∵点在椭圆上，∴，即，

∴（），

∴当时， 的最小值为．

（Ⅱ）设的方程，点， ，

由得，

令，解得．

由韦达定理得， ，

由弦长公式得，

由且，得．

又点到直线的距离，

∴ ，

当且仅当时，等号成立，

∴面积最大值为12.