Question

设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求的值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用离心率、通径长度及得到关于的方程组求解即可；（2）写出相关点坐标，设出直线方程，与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系、数量积的运算进行求解．

试题解析：（1）由题意，可知，解得，即椭圆的标准方程为；

（2）由（1）可知：

直线 设

联立 消得：

又

所以

解得

考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．数量积运算．

【技巧点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及数量积运算的应用，属于中档题；有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目，往往计算量较大，灵活利用一些结论可减少计算量，通过解题速度，如：本题中，应用了“椭圆或双曲线的通径长度为”的结论，又应用了“设而不求”的整体思想．