Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若， 恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：(1) 求出函数的导数，通过讨论 的范围， 得增区间， 得减区间； (2)问题转化为，讨论 的范围，根据函数的单调性求出 的最小值即可求出 的范围.

试题解析：（1）.

（i）当时， ，函数在上单调递增；

（ii）当时，令，则，

当，即，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）令，由（1）可知，函数的最小值为，所以，即.

恒成立与恒成立等价，

令，即，则.

①当时， .（或令，则

在上递增，∴，∴在上递增，∴.

∴）.

∴在区间上单调递增，

∴，

∴恒成立.

②当时，令，则，

当时， ，函数单调递增.

又， ，

∴存在，使得，故当时， ，即，故函数在上单调递减；当时， ，即，故函数在上单调递增，

∴，

即， 不恒成立，

综上所述， 的取值范围是.