Question

已知椭圆： 的短轴长为2，且函数的图象与椭圆仅有两个公共点，过原点的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点为线段的中垂线与椭圆的一个公共点，求面积的最小值，并求此时直线的方程.

Answer

（1）；（2）的面积的最小值为，此时直线的方程为.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程求解；（2）先建立直线的方程，再与椭圆方程联立，运用坐标建立关于三角形面积公式的目标函数求【解析】

（1）由题意可知， ，则，

联立与，得：

根据椭圆与抛物线的对称性，可得

∴，又，

∴，∴椭圆的标准方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时， ；当直线的斜率为0时， ，

②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由，得，

∴，

由题意可知线段的中垂线方程为，由，得，

∴，

∴

即，当且仅当，即时等号成立，此时的面积取得最小值，

∵，∴的面积的最小值为，此时直线的方程为.

点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高考重点考查的常考考点。解答本题的第一问时，充分借助题设条件建立方程探求椭圆中的参数，进而使得问题获解；求解第二问时，先建立直线直线的方程为，然后与椭圆方程联立，借助坐标之间的关系建立三角形面积的目标函数，运用基本不等式求得其最小值使得问题获解。