Question

如图，在直三棱柱中， ， ， ， ， 是线段上一点.

（1）确定的位置，使得平面平面；

（2）若平面，设二面角的大小为，求证： .

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）当时，可证明平面，再根据平面几何知识求解即可；（2）以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）当时，∵，∴由射影定理得，∴.

∵平面，∴.

∵，∴平面.

又平面，∴当时，平面平面.

（2）以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， .

连接交于点，则为的中点.

∵平面平面，且平面，∴，∴为的中点.

∴， ，

设平面的法向量为，

则，且，

令，可取平面的一个法向量，

而平面的一个法向量为，

∴，∵二面角为锐角，

∴，又，∴.