Question

在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由求出的值；（2）先考虑特殊情况:直线的斜率不存在,求出；一般情况,直线:,利用直线与圆相切,向量垂直的条件:数量积为零,求出点的纵坐标的值．

试题解析：（1）∴，，∴，∴椭圆方程为．

（2）①当轴时，，，

由，解得．

②当不垂直于轴时，设，方程为，即，

∵与圆相切，∴，

∴，

∴，

又，所以由，得，

∴

，

∴．

综上：．

考点：1.椭圆的简单几何性质；2.向量垂直条件.

【思路点晴】本题主要考查直线,圆椭圆之间的位置关系,属于中档题. 在（1）中,利用椭圆的离心率和焦点坐标,求出椭圆的标准方程；在（2）中,分两种情况讨论,直线的斜率是否存在,分别求出点的纵坐标的值,要用到直线和圆相切的条件:,直线垂直得到向量垂直,向量数量积为零,再化简整理,求出的值.