Question

如图， 是半圆的直径， 是半圆上除、外的一个动点， 垂直于半圆所在的平面， ， ， ， .

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.

(2)由题意可得，当且仅当时，三棱锥体积最大,建立空间直角坐标系可得二面角的余弦值为.

试题解析：

【解析】
（1）因为是直径，所以，

因为平面，所以，

因为，所以平面，

因为， ，

所以四边形是平行四边形，

所以，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）因为平面， ，

所以平面， ，

在中， ，

由（1）知，

当且仅当时，等号成立.

如图所示，建立空间直角坐标系，则， ， ， .

则， ， ， .

设平面的一个法向量为，

则，即，

∴，取，则

，

设平面的一个法向量为，

则，即，

∴，取，则，

∴，

∴二面角的余弦值为.