Question

如图，在梯形中， ， . ，且平面， ，点为上任意一点.

（1）求证： ；

（2）点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为60°，试确定点的位置．

Answer

（1）见解析;（2）点与点重合．

【解析】【试题分析】（１）先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理分析推证；（２）建立空间直角坐标系运用向量的有关知识及数量积公式分析求【解析】

（1）证明：∵， ， ∴，

连接，在中， ，

∴，∴，

∵平面，∴，又，

∴平面，∵平面，∴．

（2）以为坐标原点，分别以直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则， ，

设，则，

∴，故，∴，

设平面的法向量为，则，

即，

令，可得，∴．

易知平面的一个法向量为，

∴，

∴，

∴点与点重合．

点睛：立体几何是高中数学的经典内容之一，也是高考重点考查的考点之一。立体几何的题型一般有两类：其一是考查线面位置关系（平行垂直）；其二是考查度量关系的（角度距离的计算）。求解第一问时先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即证直线平面，再运用线面垂直的性质定理证明从而使得问题获证；求解第二问时先建立空间直角坐标系，运用向量的有关知识分别求导两个平面的法向量，再运用向量的数量积公式建立方程，从而求得，从而使得问题获解。