Question

已知函数， ．

（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；

（Ⅱ）设，其中为非零实数， 有两个极值点，且，求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证： ．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）设切点为，先根据导数几何意义得切线斜率等于切点处导数值，再根据切点与点连线的斜率等于切线斜率，列方程，解得，最后根据点斜式写切线方程，（2）由题意得导函数在定义区间上有两个不等的零点，即方程在上有两个不同的实根，即,解得的取值范围；（3）由， ，化简不等式得，构造函数， ，利用导数研究函数单调性： 在上单调递增，确定，即证得结论.

试题解析：（Ⅰ）

设切点为，则切线的斜率为

点在上，∴

∴，解得

∴切线的斜率为，∴切线方程为

（Ⅱ）

，

当时，即时， ， 在上单调递增；

当时，由得， ， ，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，由得， ， 在上单调递减，在上单调递增．

当时， 有两个极值点，即， ，即的范围是

（III）由（Ⅱ）知， ，由得， ，

由

∵，∴，即证明

即证明

构造函数， ，

， 在上单调递增，

又，所以在时恒成立，即成立

∴．

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.