Question

已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使

得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）；（2）存在一个定点．

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据已知条件并结合图像可得出的值，然后由椭圆的离心率可求出的值，最后得出椭圆的方程即可；（Ⅱ）首先运用特殊情况求出定点的坐标，然后对其进行证明，运用圆锥曲线与直线的位置关系并结合已知条件可得出的值，进而证明了所求的结论．

试题解析：（Ⅰ）由题设可求得，又，则，所以椭圆的方程是．

（Ⅱ）若直线与轴重合，则以为直径的圆为，若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，由，解得，由此可知所求点T如果存在，只能是．

事实上点就是所求的点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程并整理得，设点的坐标为，

则，因为，

所以有

，

所以，即以为直径的圆恒定过点，综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系．